
\prob{0046}{至少一个为一}

已知$a + b + c = \sfrac1a + \sfrac1b + \sfrac1c = 1$，求证：$a, b, c$中至少有一个等于1。
\problabels{yellow/代数, green/证明题}

\subsection{因式分解}

基本思路：将题目中的等式变形，然后得出多个等式，最后进行因式分解得出$(a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0$。

易知

\begin{align*}
  \frac1a + \frac1b + \frac1c &= \frac{ab}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{bc}{abc} \\
  &= \frac{ab + ac + bc}{abc} = 1 \\
  ab + ac + bc &= abc \\
\end{align*}

即$abc - ab - ac - bc = 0$。又由$a + b + c = 1$知$a + b + c - 1 = 0$，即

\begin{align*}
  abc - ab - ac - bc + a + b + c - 1 &= 0 \\
  (a - 1)(b - 1)(c - 1) &= 0 \\
\end{align*}

即$a = 1$，$b = 1$或$c = 1$。因此，$a, b, c$中至少有一个等于1。证毕。
